Le taux de reproduction de la COVID-19

La crise sanitaire actuelle a été l’occasion pour beaucoup de découvrir les modèles mathématiques, des paramètres mystérieux (le Ro) et des prévisions parfois surprenantes. C’est une bonne occasion pour comprendre l’intérêt, mais aussi les limites de la modélisation mathématique

Les modèles épidémiologiques

Un modèle mathématique a pour objectif de décrire un phénomène en termes mathématiques. En épidémiologie, le modèle le plus connu est le modèle SIR où tous les individus sont répartis entre trois compartiments :

• Les personnes « saines : compartiment S,
• Les personnes « infectées » : compartiment I,
• Les personnes « guéries » : compartiment R (comme « recovered » en anglais).

Les transferts entre ces compartiments sont définis par des paramètres, initialement inconnus. Ce modèle peut être complexifié en ajoutant d’autres possibilités (décès, immunité, délais, classes d’âges …). Pour le mathématicien, un tel modèle se traduit en équations facilement utilisables.

Le but de la modélisation est d’estimer les paramètres inconnus à partir des données expérimentales (courbes des contaminations, des guérisons …). Une fois établi, le modèle permet de mieux comprendre la cinétique de l’épidémie et de faire des prévisions.

Le Ro : taux de reproduction

Le paramètre Ro a eu une notoriété importante et nous avons tous rapidement compris sa signification : l’épidémie se développera tant cette valeur restera supérieure à 1. Il est donc nécessaire de le réduire au maximum en intervenant sur ses principales composantes :

1. La probabilité de transmission à un contact
   Action : port du masque, distanciation sociale
2. Le nombre de contacts par jour
   Action : confinement
3. La durée de la période de contamination

Action : tests et isolation rapide des malades

Mais ces composantes sont difficiles à estimer et, en pratique, Ro se calcule globalement à partir des paramètres du modèle SIR. En France, le Ro moyen estimé était de 4,5 avant le confinement (17 mars), il passe sous l’unité mi-avril et atteint 0,4 à la fin du confinement (11 mai). Cependant, il remonte à 0,75 début juin, redevient supérieur à 1 début juillet et atteint 1,41 début aout.

La difficulté des prévisions

Mi-mars, le britannique Neil Ferguson, du prestigieux Imperial College de Londres, publie un article indiquant, qu’en l’absence de mesures, le virus pourrait causer 510 000 morts au Royaume-Uni et 2,2 millions aux USA. Ce document a entrainé une brutale prise de conscience des autorités politiques qui ont le plus souvent pris rapidement des mesures de confinement, l’idée d’attendre une immunité collective ayant été vite éliminée au vu de ces résultats.

Ce document a été par la suite très critiqué. Le cas de la Suède, qui n’a pas imposé de confinement est souvent donné en exemple. En juin, le nombre de décès était d’environ 5 000 bien loin des 100 000 morts prévus par Fergusson. Mais, début mars, le virus était encore mal connu et certains paramètres avaient été retenus arbitrairement à partir des données de la grippe, d’où inévitables biais. Et surtout, il est évident que les Suédois ont pris peur et ont modifié spontanément leurs comportements, leur Ro serait ainsi passé de 3 à 1,4.

Par contre, les prévisions à court terme (2 à 4 semaines) sont apparues assez fiables et ont permis d’anticiper l’évolution du nombre de malades et du Ro. Ces résultats ont aidé les autorités à définir les besoins au niveau des hôpitaux et à décider du meilleur moment pour la levée des restrictions.

La modélisation sert aussi à surveiller les données quotidiennes et à détecter précocement une possible « seconde vague ». Certains affirment avec assurance qu’elle (au pas) lieu alors que personne ne peut raisonnablement le savoir. Cela dépendra beaucoup de l’attitude de la population et … du virus.

Jacques Delforge

Pour en savoir plus, rendez-vous sur le site solidarites-sante.gouv.fr.

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